Max Häfner wurde am 13. Mai 1996 in Schwäbisch Gmünd geboren. In der A-Jugend wurde er bei Frisch Auf! Göppingen ausgebildet. Mit dem Team spielte er in der Jugend-Bundesliga. Danach wechselte er zum TSB Schwäbisch Gmünd. Hier gelang ihm der Aufstieg in die Baden-Württemberg Oberliga. Zur Saison 2017/18 schloss er sich mit einem Drei-Jahres-Vertrag dem TVB Stuttgart an. Sein Pflichtspieldebüt für den TVB erfolgte in der 1. Runde des DHB-Pokals am 19. August 2017 gegen den HSV Bad Blankenburg. In der Bundesliga bestritt Max sein erstes Spiel gegen die MT Melsungen am 24. August 2017.

Der 1,83 Meter große Häfner spielt auf der Position des Mittespielers. Auch sein Bruder Kai ist in der LIQUI MOLY Handball-Bundesliga aktiv. Er läuft für die MT Melsungen auf.